解答题求解下列微分方程：

问答题

【正确答案】解：解方程组令X=x+2，Y=y+3代入原方程再令Y=uX, 得变量还原，得

【答案解析】

问答题

【正确答案】解：令y2=η，x2=ξ，则方程变为解方程组令X=ξ-2，Y=η-1，代入①得再令代入对③式两边积分变量还原，得x2+y2-3=C(x2-y2-1)5．

【答案解析】

问答题 (x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)cosydy=0．

【正确答案】解：原方程(x-2siny+3)dx-(2x-4siny-3)d(siny)=0，令siny=z，则方程再令x-2z=u，两边积分3u-u2=9x+C，变量还原得3(x-2siny)-(x-2siny)2=9x+C．

【答案解析】

问答题已知

且f(0)=g(0)=0，试求

【正确答案】解：由f(0)=0，得；同理，得g(x)=ln(1+x)．于是而 ∴x→0时， ∴

【答案解析】

问答题设A，B都是三阶矩阵，满足AB=A-B．若λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，证明：
(1)λ_i≠-1(i=1，2，3)；
(2)存在可逆矩阵C，使C^-1AC，C^-1BC同时为对角矩阵．

【正确答案】解：(1)要证λ=-1不是A的特征值，也就是要证|E+A|≠0，即A+E可逆． (2)由于A有三个不同的特征值，设Axi=λixi(i=1，2，3)，则x1，x2，x3线性无关．用分块矩阵即C-1AC=Λ1，可见要证C-1BC=Λ2，也就是要证xi也是B的特征向量．证：(1)由于AB=A-B，故A-B-AB+E=E，即(A+E)(E-B)=E，从而A+E可逆且其逆是E-B，那么|A+E|≠0，知λ=-1不是A的特征值． (2)从可逆定义知(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)．从而AB=BA．设Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，Ax3=λ3x3，由于λ1，λ2，λ3是不同的特征值，故x1，x2，x3线性无关，且另一方面，因为AB=BA，有ABxi=BAxi=B(Axi)=λiBxi，i=1，2，3. 若Bxi≠0，则Bxi也是A关于λi的特征向量，且λi是单根，λi只有一个线性无关的特征向量，故必有Bxi=μixi，知xi是B关于μi的特征向量．若Bxi=0，则Bxi=0xi，知xi是B关于λ=0的特征向量．不论哪种情况，xi都是B的特征向量，从而可见C-1BC=Λ2．所以A，B可同时对角化．

【答案解析】

问答题设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫_L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对任意t恒有

【正确答案】解：由曲线积分与路径无关的条件有 Q(x，y)=x2+C(y)，其中C(y)为待定函数．又由题设条件有两边对t求导，得 2t=1+C(t)，C(t)=2t-1，从而C(y)=2y-1，故Q(x，y)=x2+2y-1．

【答案解析】