解答题
7.(2001年试题，七)设函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g(x)，g'(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求
【正确答案】由题设已知
此为关于f(x)，g(x)的一阶常系数线性方程组，由式(1)两边对x求导，得f''(x)=g'(x)，将其代入式(2)中，得：f'(x)+f(x)=2ex此为关于f(x)的二阶常系数线性非齐次方程，先求其齐次方程的通解，由特征方程λ2+1=0，可求得特征值为λ1=i，λ2=一i，因此齐次方程通解为y=C1cosx+C2sinx，设原方程特解为y*=Aex，代入原方程得A=1，从而y*=ex，所以原方程有通解y=C1cosx+C2sinx+ex又由初始条件f(0)=0及f'(0)=g(0)=2，可求出C1=一1，C2=1，所以f(x)=一cosx+sinx+ex，g(x)=cosx+sinx+ex下面求定积分
此为关于f(x)，g(x)的一阶常系数线性方程组，由式(1)两边对x求导，得f''(x)=g'(x)，将其代入式(2)中，得：f'(x)+f(x)=2ex此为关于f(x)的二阶常系数线性非齐次方程，先求其齐次方程的通解，由特征方程λ2+1=0，可求得特征值为λ1=i，λ2=一i，因此齐次方程通解为y=C1cosx+C2sinx，设原方程特解为y*=Aex，代入原方程得A=1，从而y*=ex，所以原方程有通解y=C1cosx+C2sinx+ex又由初始条件f(0)=0及f'(0)=g(0)=2，可求出C1=一1，C2=1，所以f(x)=一cosx+sinx+ex，g(x)=cosx+sinx+ex下面求定积分【答案解析】上面计算定积分的过程中，也可先对后一部分进行分部积分，但与上面解法一样，无需将f(x)与g(x)的表达式代入被积函数．