解答题
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．
问答题
证明：向量组α1，α2，α3线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由Aα1=α1得(A-E)α1=0，
由Aα2=α1+α2得(A-E)α2=α1，
由Aα3=α2+α3得(A-E)α3=α2．
令k1α1+k2α2+k3α3=0，1)
两边左乘以(A-E)得
k2α1+k3α2=0，2)
两边再左乘(A-E)得k3α1=0，
由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k2=0，
再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关．
由Aα2=α1+α2得(A-E)α2=α1，
由Aα3=α2+α3得(A-E)α3=α2．
令k1α1+k2α2+k3α3=0，1)
两边左乘以(A-E)得
k2α1+k3α2=0，2)
两边再左乘(A-E)得k3α1=0，
由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k2=0，
再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关．
问答题
证明：A不可相似对角化．
【正确答案】
【答案解析】[解] 令P=(α1，α2，α33)，
由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α2+α3)得
从而
由|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)3=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1，
由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α2+α3)得
从而
由|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)3=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1，