问答题

问答题命题“若A²=0，则A=0”是否正确，若正确，证明之；若不正确，举例说明；

【正确答案】若A=0，必有A²=0．反之，若A²=0，则不一定有A=0．这是因为矩阵乘法没有消去律．举一个二阶矩阵作为反例：设[*]，则有
[*]
这就说明了满足A²=0的矩阵并不一定是零矩阵，非零矩阵的幂也可能是零矩阵．

【答案解析】

问答题设A是2阶矩阵，求满足A²=0的所有矩阵A；

【正确答案】若A=0，显然有A²=0．
若A可逆，显然A²≠0，只需考虑A不可逆，即|A|=0，设[*]，则[*]=ad-bc=0，即[*]．不妨设[*]，则
[*]
由A≠0，可推出 a+kb=0．
由此可知，满足A²=0的所有二阶矩阵为零矩阵和满足条件a+kb=0的二阶非零矩阵
[*]
将a=-kb代入，得到
[*]
其中b，k是任意常数．

【答案解析】

问答题证明：若A为n阶实对称矩阵，且A²=0，则A=0．

【正确答案】利用实对称矩阵的定义及矩阵乘积，证明A的每个元素皆为0，即得A=0．
令A=(a_ij)_n×n因为A是实对称矩阵，所以a_ij∈R(实数集合)，且A^T=A．由题设A²=0，故AA^T=0，即
[*]
[*]
于是[*]．因为a_ij(i，j=1，2，…，n)为实数．故a_ij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．

【答案解析】