解答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
问答题
36.求a的值；
【正确答案】二次型f的秩为2．所以r(A)=2，于是
【答案解析】
问答题
37.求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
【正确答案】当a=0时，
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得A的属于λ1=λ2=2的线性无关的特征向量为
ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(0，0，1)T．
对于λ3=0，解齐次线性方程组(－A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为
ξ3=(－1，1，0)T．
易见ξ1，ξ2，ξ3，两两正交，只需单位化，得
于是
可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．
对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得A的属于λ1=λ2=2的线性无关的特征向量为
ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(0，0，1)T．
对于λ3=0，解齐次线性方程组(－A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为
ξ3=(－1，1，0)T．
易见ξ1，ξ2，ξ3，两两正交，只需单位化，得
于是
【答案解析】
问答题
38.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】【解法1】 在正交变换x=Qy下f(x1，x2，x3)=0化成2y12+2y22=0，解之得y1=y2=0，从而
【解法2】 由于f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2xx=(x1+x2)2+2x32=0，所以
【解法2】 由于f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2xx=(x1+x2)2+2x32=0，所以
【答案解析】