解答题
计算累次积分
【正确答案】
【答案解析】[解法一] 由题设知累次积分I可以写成积分区域D=D1+D2上的二重积分
，其中D1={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，D2={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，如下图所示．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中
，从而
[解法二] 在内层积分作换元t=x+y，于是y:1-x→2-x
t:1→2，y:0→2-x
t:x→2，且dt=dy，
从而
其中D0=D01+D02，且D01={(x，t)|0≤x≤1，1≤t≤2}，
D02={(x，t)|1≤x≤2，x≤t≤2}，如下图所示．注意积分区域D0
又可表示为D0={(x，t)|1≤t≤2，0≤x≤t}，故
，其中D1={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，D2={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，如下图所示．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中，从而[解法二] 在内层积分作换元t=x+y，于是y:1-x→2-x
t:1→2，y:0→2-xt:x→2，且dt=dy，从而
其中D0=D01+D02，且D01={(x，t)|0≤x≤1，1≤t≤2}，
D02={(x，t)|1≤x≤2，x≤t≤2}，如下图所示．注意积分区域D0
又可表示为D0={(x，t)|1≤t≤2，0≤x≤t}，故