解答题
14.[2003年] 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
【正确答案】解一 事件{X=1)和{X=2)是样本空间的一个划分，可视为一个完备事件组，因而利用全概率公式先求出U=X+Y的分布函数G(u)．
设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式知，U=X+Y的分布函数为
GU(u)=P(X+Y≤u)=P(X=1)P(X+Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(X+Y≤u|X=1)+0．7P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(Y≤u－1|X=1)+0．7P(Y≤u－2|X=2)．
由于X与Y独立，有
GU(u)=0．3P(Y≤u－1)+0．7P(Y≤u－2)=0．3FY(u－1)+0．7FY(u－2)． ①
由此得U的概率密度为
g(u)=G'(u)=0．3FY'(u－1)+0．7FY'(u－2)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)．
解二 如不引用Y的分布函数FY(y)，由解一中的式①利用变限积分的求导公式也可按如下方法求g(u)：
设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式知，U=X+Y的分布函数为
GU(u)=P(X+Y≤u)=P(X=1)P(X+Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(X+Y≤u|X=1)+0．7P(X+Y≤u|X=2)=0．3P(Y≤u－1|X=1)+0．7P(Y≤u－2|X=2)．
由于X与Y独立，有
GU(u)=0．3P(Y≤u－1)+0．7P(Y≤u－2)=0．3FY(u－1)+0．7FY(u－2)． ①
由此得U的概率密度为
g(u)=G'(u)=0．3FY'(u－1)+0．7FY'(u－2)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)．
解二 如不引用Y的分布函数FY(y)，由解一中的式①利用变限积分的求导公式也可按如下方法求g(u)：
【答案解析】