问答题
已知矩阵
【正确答案】(Ⅰ)记E为三阶单位矩阵，则由[*](λ-6)2知A有特征值λ=-2，6(二重)．于是A可相似对角化，必有
r(6E-A)=3-2=1， (1)
其中，[*]因此，满足式(1)的a=0，即当A可相似对角化时，a=0.
(Ⅱ)a=0时，[*]所以
[*]
记[*](实对称矩阵)，则[*](其中E是三阶单位矩阵)．
所以B有特征值λ=-3，6，7．
设对应λ=-3的特征向量为α=(a1，a2，a3)T，则α满足
[*]即[*]
于是取α为它的基础解系，即α=(-1，1，0)T．
设对应A =6的特征向量为β=(b1，b2，b3)T，则卢满足
[*]即[*]
于是取β为它的基础解系，即β=(0，0，1)T．
设对应λ=7的特征向量为γ=(c1，c2，c3)T，则γ与α，β都正交，即
[*]
于是取γ为它的基础解系，即γ=(1，1，0)T．
α，β，γ是正交向量组，现将它们单位化，即
[*]
记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则所求的正交变换为
[*]它将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形[*]
r(6E-A)=3-2=1， (1)
其中，[*]因此，满足式(1)的a=0，即当A可相似对角化时，a=0.
(Ⅱ)a=0时，[*]所以
[*]
记[*](实对称矩阵)，则[*](其中E是三阶单位矩阵)．
所以B有特征值λ=-3，6，7．
设对应λ=-3的特征向量为α=(a1，a2，a3)T，则α满足
[*]即[*]
于是取α为它的基础解系，即α=(-1，1，0)T．
设对应A =6的特征向量为β=(b1，b2，b3)T，则卢满足
[*]即[*]
于是取β为它的基础解系，即β=(0，0，1)T．
设对应λ=7的特征向量为γ=(c1，c2，c3)T，则γ与α，β都正交，即
[*]
于是取γ为它的基础解系，即γ=(1，1，0)T．
α，β，γ是正交向量组，现将它们单位化，即
[*]
记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则所求的正交变换为
[*]它将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形[*]
【答案解析】用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形，首先要将该二次型表示成xTBx(其中，B是实对称矩阵)，这是本题获解的关键，此外，应熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法．