解答题
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分。)
问答题
8.根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积πφ2(y)=4π+πt，因此
t=φ2(y)－4。
t=φ2(y)－4。
【答案解析】
问答题
9.求曲线x=φ(y)的方程。
【正确答案】液面的高度为y时，液体的体积为
π∫0yφ2(u)du=3t=3φ2(y)－12。
上式两边对y求导，得
πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，
即πφ(y)=6φ'(y)，
解此微分方程，得
φ(y)=Ceπ／6y，其中C为任意常数，
由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=2eπ／6y。
π∫0yφ2(u)du=3t=3φ2(y)－12。
上式两边对y求导，得
πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，
即πφ(y)=6φ'(y)，
解此微分方程，得
φ(y)=Ceπ／6y，其中C为任意常数，
由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=2eπ／6y。
【答案解析】