问答题
设A是3阶实矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是三个对应的特征向量．
证明：当λ
2
λ
3
≠0时，向量组ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关．
【正确答案】正确答案：因 [ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)]=[ξ
1
，λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]
因λ
1
≠λ
2
≠λ
3
，故ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，由上式知ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关
因λ
1
≠λ
2
≠λ
3
，故ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，由上式知ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关
【答案解析】