解答题
24.设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a﹤b=f(b).
证明：存在εi∈(a,b)(i=1,2,...,n),使得
证明：存在εi∈(a,b)(i=1,2,...,n),使得
【正确答案】令
,因为f(x)在[a,b]上连续且单调的增加，且f(a)=a＜b=f(b),所以f(a)=a＜a+h＜...＜a+(n-1)h＜b=f(b),由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜...＜cn-1＜b,使得
f(c1)=a+h,f(c2）=a+2h,...,f(cn-1)=a+(n-1)h,再由微分中值定理，得
f(c1)-f(a)=f'(ε1)(c1-a),ε1∈(a,c1),
f(c2)-f(c1)=f'(ε2)(c2-c1),ε2∈(c1,c2),...
f(b)-f(cn-1)=f'(εn)(b-cn-1),εn∈(cn-1,b),
从而有
,因为f(x)在[a,b]上连续且单调的增加，且f(a)=a＜b=f(b),所以f(a)=a＜a+h＜...＜a+(n-1)h＜b=f(b),由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜...＜cn-1＜b,使得f(c1)=a+h,f(c2）=a+2h,...,f(cn-1)=a+(n-1)h,再由微分中值定理，得
f(c1)-f(a)=f'(ε1)(c1-a),ε1∈(a,c1),
f(c2)-f(c1)=f'(ε2)(c2-c1),ε2∈(c1,c2),...
f(b)-f(cn-1)=f'(εn)(b-cn-1),εn∈(cn-1,b),
从而有
【答案解析】