计算题
电影《美丽心灵》有一个酒吧约会的片段：3个男生来到酒吧，酒吧中有4个女生，其中1个金发女生，3个红发女生。男生和红发女生约会的效用是1，而和金发女生约会的效用是4。每个男生都要决定是和金发女生搭讪还是和红发女生搭讪。如果只有一个男生和金发女生搭讪，这个男生可以成功约会金发女生。如果有多个男生同时向金发女生搭讪，由于男生之间的竞争，他们都不会成功，并且也不能约会红发女生。如果向红发女生搭讪，受到搭讪的红发女生拒绝，仍可以和其他红发女生约会，但不能被金发女生再接受。每个女生都希望有男生约会，不会拒绝唯一和自己搭讪的男生。男生没有约会的效用为0。每个男生独立地决定自己的搭讪对象。(2016年中山大学80l经济学)
问答题
19.构造一个博弈分析男生的决策，写出每个男生的纯策略集合和他的支付函数。
【正确答案】把三位男生分别记为A、B、C。
①当C与红发女生约会时，博弈的收益矩阵如表2—1—16所示。
②当C与金发女生约会时，博弈的收益矩阵如表2—1—17所示。
①当C与红发女生约会时，博弈的收益矩阵如表2—1—16所示。
②当C与金发女生约会时，博弈的收益矩阵如表2—1—17所示。
【答案解析】
问答题
20.在你构造的博弈中，是否存在纯策略纳什均衡?请说明。
【正确答案】纳什均衡又称非合作均衡，是指如果在一个策略组合中，当其他所有参与人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则这样的策略组合就是一个纳什均衡，纳什均衡不具有唯一性，在同一个博弈中可能存在多个纳什均衡。
在上一小题构造的博弈中，当C约会红发女生时，若A约会金发女生，则B一定只会选择与红发女生约会，而B约会了红发女生，则A只会选择约会金发女生，从而(金发女生，红发女生)是一个子博弈纯策略纳什均衡。同理，(红发女生，金发女生)也是一个子博弈纯策略纳什均衡，同样的分析也适用于当C约会金发女生时。因此，该博弈的纯策略纳什均衡为(金发女生，红发女生，红发女生)，(红发女生，金发女生，红发女生)，(红发女生，红发女生，金发女生)。
在上一小题构造的博弈中，当C约会红发女生时，若A约会金发女生，则B一定只会选择与红发女生约会，而B约会了红发女生，则A只会选择约会金发女生，从而(金发女生，红发女生)是一个子博弈纯策略纳什均衡。同理，(红发女生，金发女生)也是一个子博弈纯策略纳什均衡，同样的分析也适用于当C约会金发女生时。因此，该博弈的纯策略纳什均衡为(金发女生，红发女生，红发女生)，(红发女生，金发女生，红发女生)，(红发女生，红发女生，金发女生)。
【答案解析】
问答题
21.在你构造的博弈中，是否存在混合策略纳什均衡?请说明。
【正确答案】混合策略均衡是指这样一种均衡，在这种均衡下，给定其他参与人的策略选择概率，每个参与人选择每一种策略是无差异的，即每个参与人选择每一种策略的期望收益相等。假定男生A约会金发女生的概率为p1，约会红发女生的概率为1－p1。男生B约会金发女生的概率为p2，约会红发女生的概率为1－p2。男生C约会金发女生的概率为p3，约会红发女生的概率为1－p3。因此可以得到男生A的期望支付为
π1=4p1(1－p2)(1－p3)+1－p1
同理，可得男生B和男生C的期望支付为
π2=4p2(1－p1)(1－p3)+1－p2
π3=4p3(1－p1)(1－p2)+1－p3
当混合策略均衡时，有
解得p1=p2=p3=0．5。
因此，该博弈存在混合策略纳什均衡，为男生A，B，C均在策略空间(金发女生，红发女生，红发女生)上，以概率分布
π1=4p1(1－p2)(1－p3)+1－p1
同理，可得男生B和男生C的期望支付为
π2=4p2(1－p1)(1－p3)+1－p2
π3=4p3(1－p1)(1－p2)+1－p3
当混合策略均衡时，有
解得p1=p2=p3=0．5。
因此，该博弈存在混合策略纳什均衡，为男生A，B，C均在策略空间(金发女生，红发女生，红发女生)上，以概率分布
【答案解析】