【正确答案】 A

【答案解析】[考点提示] 函数单调性、函数的极值．
[解题分析] 设ψ(x)=f(x)-x，则ψ'(x)=f(x)-1，ψ"(x)=f"(x)．
由f"(x)＜0得ψ"(x)＜0，故ψ'(x)单调减少，则当x＜1时，
ψ'(x)＞ψ'(1)=f'(1)-1=0，当x＞1，时ψ'(x)＜ψ'(1)=0．则ψ(x)在x=1处取得极大值，当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时ψ(x)＜ψ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．故选A．