问答题设有某种原料产地A₁，A₂，A₃，把这种原料经过加工，制成成品，再运往销地，假设用4吨原料可制成1吨成品．产地A₁年产原料30万吨同时需要成品7万吨；产地A₂年产26万吨，同时需要成品13万吨；产地A₃年产24万吨，不需成品．又A₁与A₂之间的距离为150公里，A₁与A₃之间的距离为100公里，A₂与A₃之间的距离为200公里，又知原料运费为3千元/万吨公里，成品运费为2.5千元/万吨公里．又知在A₁开设加工厂的加工费(指加工单位成品)为5.5千元/万吨，在A₂为4千元/万吨，在A₃为3千元/万吨．又知，因条件限制，在A₂设厂规模不能超过年产成品5万吨，在A₁和A₃可以不受限制，问应在何地设厂，生产多少成品，才能使总的生产费用(包括原料运费、成品运费、加工费等)为最小?试建立此问题的数学模型．

【正确答案】用x_i表示在A_i设厂年产成品的数量(若x_i=0，表示在A_i不设厂)，用y_ij表示由A_i运往A_j的原料数量，z_ij表示由A_i运往A_j的成品数量，单位都用万吨(i=1，2，3；j=1，2，3；i≠j)．则问题的数学模型为
min f=5.5x₁+4x₂+3x₃+450(y₁₂+y₂₁)+300(y₁₃+y₃₁)+600(y₂₃+y₃₂)+375(z₁₂+z₂₁)+250(z₁₃+z₃₁)+500(z₂₃+z₃₂),
s.t.4x₁+y₁₂+y₁₃-y₂₁-y₃₁=30,
4x₂+y₂₁+y₂₃-y₁₂-y₃₂=26,
4x₃+y₃₁+y₃₂-y₁₃-y₂₃=24,
x₁-z₁₂-z₁₃+z₂₁+z₃₁=7,
x₂-z₂₁-z₂₃+z₁₂+z₃₂=13,
x₃-z₃₁-z₃₂+z₁₃+z₂₃=0,
x₂≤5，x_i≥0(i=1，2，3)，
y_ij,z_ij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3;i≠j).

【答案解析】