解答题
已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?
【正确答案】
【答案解析】[解] 设该旋转体的半径为x，高为y，则z+y=p．该圆柱体体积V=πyx2．
方法一 用拉格朗日乘数法，设
F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y-p)，
令
，有
2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y-p=0．
由上可解得唯一一组解
由于存在最大值，又解得唯一一组解，故当半径为
，高为
时，该旋转体体积最大．
方法二 化成一元函数极值问题．
V=πyx2=π(p-x)x2=πp2-πx3，0＜x＜p．
V'=2πpx-3πx2，
V"＝2πp-6πx．
令V'=0，得
所以当半径
时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当
方法一 用拉格朗日乘数法，设
F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y-p)，
令
，有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y-p=0．
由上可解得唯一一组解
由于存在最大值，又解得唯一一组解，故当半径为，高为时，该旋转体体积最大．方法二 化成一元函数极值问题．
V=πyx2=π(p-x)x2=πp2-πx3，0＜x＜p．
V'=2πpx-3πx2，
V"＝2πp-6πx．
令V'=0，得
所以当半径
时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当