设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫ a x f(x)dt≥∫ a x g(x)dt，x∈[a，b)，∫ a b f(t)dt=∫ a b g(t)dt。 证明：∫ a b xf(x)dx≤∫ a b xg(x)dx。
【正确答案】正确答案：令F(x)=fx)—g(x)，G(x)=∫ a x F(t)dt，由题设G(x)≥10，x∈[a，b]，G(a)=G(b)=0，G'(x) =F(x)，从而， ∫ a b xF(x)dx=∫ a b xdG(x)=xG(x)｜ a b —∫ a b G(x)dx=—∫ a b G(x)dx， 由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫ a b G(x)dx≤0，即∫ a b xF(x)dx≤0。 因此 ∫ a b xf(x)dx≤∫ a b xg(x)dx。
【答案解析】解析：本题考查微积分的基本原理以及定积分的性质。