问答题
设有n元实二次型
f(x1，x2，…xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…xn)为正定二次型．
f(x1，x2，…xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…xn)为正定二次型．
【正确答案】[解] 由已知条件知，对任意的x1，x2，…xn，恒有f(x1，x2，…xn)≥0，其中等号成立的充分必要条件是
根据正定的定义，只要x≠0，恒有xTAx＞0，则xTAx是正定二次型．为此，只要方程组①仅有零解，就必有当x≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为0，从而f(x1，x2，…xn)＞0，亦即f是正定二次型．
而方程组①只有零解的充分必要条件是系数行列式
即当a1a2，…an≠(-1)n时，二次型f(x1，x2，…xn)为正定二次型．
根据正定的定义，只要x≠0，恒有xTAx＞0，则xTAx是正定二次型．为此，只要方程组①仅有零解，就必有当x≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为0，从而f(x1，x2，…xn)＞0，亦即f是正定二次型．
而方程组①只有零解的充分必要条件是系数行列式
即当a1a2，…an≠(-1)n时，二次型f(x1，x2，…xn)为正定二次型．
【答案解析】