解答题
13.设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与Λ相似，写出对角矩阵A．
【正确答案】因为α．β为单位向量，且αTβ=0，故
的秩为2，从而有x≠0，使
即αTx=0，βTx=0，于是有
Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0．
又
Aa=(ααT+ββT)α=ααTα+ββTα=α，
Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ=β。
因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵P=(α，β，x)，使
的秩为2，从而有x≠0，使即αTx=0，βTx=0，于是有
Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0．
又
Aa=(ααT+ββT)α=ααTα+ββTα=α，
Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ=β。
因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵P=(α，β，x)，使
【答案解析】