问答题
已知3阶矩阵A满足|A+E|=|A一E|=|4E一2A|=0，求|A
3
一5A
2
|．
【正确答案】正确答案：条件说明一1，1，2是A的特征值． 方法一 得出A
3
—5A
2
的3个特征值：记f(x)=x
3
一5x
2
，则A
3
一5A
2
的3个特征值为 f(一1)=一6，f(1)=一4，f(2)=一12． |A
3
一5A
2
|=(一4)×(一6)×(一12)=一288． 方法二 A
3
—5A
2
=A
2
(A一5E)，|A
3
-5A
2
|=|A|
2
|A一5E|． |A|=1×(一1)×2=一2，A一5E的特征值为一4，一6，一3，|A一5E|=(一4)×(一6)×(一3)=一72．于是 |A
3
一5A
2
|=4×(一72)=一288．
【答案解析】