解答题
17.[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】将几何问题转化为代数问题而证之，归结为证三直线的方程所组成的方程组有唯一解的充要条件是a+b+c=0．
证一 必要性．设l1，l2，l3交于一点，则线性方程组
有唯一解，则
秩(A)=秩
=2．
因而0=
=一6(a+b+c)
=一6(a+b+c)[一(b一c)2一(a一b)(a一c)]
=6(a+b+c)[(b—c)2+(a一b)(a一c)]
=6(a+b+c)(b2+c2一2bc+a2一ab一ac+bc)
=3(a+b+c)(2b2+2c2一2bc+2a2一2ab一2ac)
=3(a+b+c)[(a2+b2一2ab)+(a2+c2一2ac)+(b2+c2一2bc)]
=3(a+b+c)[(a—b)2+(a一c)2+(6一c)2]．
因a，b，c至少有两个不同，故(a一b)2+(a一c)2+(b－c)2≠0，从而必有a+b+c=0．
充分性．当a+b+c=0时，下面证l1，l2，l3交于一点，为此证三条直线方程有仅有一个解，于是归结为证明秩(A)=秩(
)=2．
当a+b+c=0时，由必要性的证明知，∣
∣=0，因而秩(
)＜3．为证秩(A)=秩(
)=2，只需证A中有一个二阶子式不等于0．因平面直线的方程是二元一次方程，故有a与b不同时为零，否则由ax+2by+3c=0得到c=0．这与方程ax+2by+3c=0为直线方程相矛盾．同理，b与c，c与a也同时不为零，于是有
证一 必要性．设l1，l2，l3交于一点，则线性方程组
有唯一解，则秩(A)=秩
=2．因而0=
=一6(a+b+c)
=一6(a+b+c)[一(b一c)2一(a一b)(a一c)]=6(a+b+c)[(b—c)2+(a一b)(a一c)]
=6(a+b+c)(b2+c2一2bc+a2一ab一ac+bc)
=3(a+b+c)(2b2+2c2一2bc+2a2一2ab一2ac)
=3(a+b+c)[(a2+b2一2ab)+(a2+c2一2ac)+(b2+c2一2bc)]
=3(a+b+c)[(a—b)2+(a一c)2+(6一c)2]．
因a，b，c至少有两个不同，故(a一b)2+(a一c)2+(b－c)2≠0，从而必有a+b+c=0．
充分性．当a+b+c=0时，下面证l1，l2，l3交于一点，为此证三条直线方程有仅有一个解，于是归结为证明秩(A)=秩(
)=2．当a+b+c=0时，由必要性的证明知，∣
∣=0，因而秩()＜3．为证秩(A)=秩()=2，只需证A中有一个二阶子式不等于0．因平面直线的方程是二元一次方程，故有a与b不同时为零，否则由ax+2by+3c=0得到c=0．这与方程ax+2by+3c=0为直线方程相矛盾．同理，b与c，c与a也同时不为零，于是有【答案解析】