问答题
设y(x)是方程y
(1)
－y''=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
【正确答案】正确答案：由泰勒公式
当x→0时，y(x)与x
3
同阶，则y(0)=0，y'(0)=0，y''(0)=0，y'''(0)=C，其中C为非零常数． 由这些初值条件，现将方程y
(4)
－y''=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt－∫
0
x
y''(t)dt=0， 即y'''(x)－C－y'(x)=0，两边再积分得y''(x)－y(x)=Cx． 易知，上述方程有特解y
*
=－Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
－x
－Cx． 由初值y(0)=0，y'(0)=0得C
1
+C
2
=0，C
1
－C
2
=C，即
当x→0时，y(x)与x
3
同阶，则y(0)=0，y'(0)=0，y''(0)=0，y'''(0)=C，其中C为非零常数． 由这些初值条件，现将方程y
(4)
－y''=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
(t)dt－∫
0
x
y''(t)dt=0， 即y'''(x)－C－y'(x)=0，两边再积分得y''(x)－y(x)=Cx． 易知，上述方程有特解y
*
=－Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
－x
－Cx． 由初值y(0)=0，y'(0)=0得C
1
+C
2
=0，C
1
－C
2
=C，即
【答案解析】