解答题
[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
问答题
8.求P(X＞2Y)；
【正确答案】如图3．3．3．1所示，
【答案解析】
问答题
9.求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．
【正确答案】解一 直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成
在xOz平面上绘出厂取正值的区域为0＜x＜1，0＜z－x＜1所围成的区域，记为D(见图3．3．3．2中阴影部分)，则
下面只需对f取正值的区域D的x进行积分．为此将区域D分成两部分D1与D2，即
当0≤x＜1时，
当1≤x＜2时，
当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z－x＜1，f(x，z－x)=0，则fz(z)=0．
综上所述，
解二 先求分布函数FZ(z)．将f(x，y)取正值的区域的四个边界点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)分别代入x+y=z得到z=0，z=1，z=1和z=2．因而对z需分z≤0，0＜z≤1，1＜z≤2，z>2四种情况讨论(见图3．3．3．3)．
(1)当z≤0时，f(x，y)=0，FZ(z)=P(Z≤z)=P(
)=0．
(2)当0＜z＜1时，
(3)当1≤z＜2时，
或
(4)当z≥2时，
故
所以
在xOz平面上绘出厂取正值的区域为0＜x＜1，0＜z－x＜1所围成的区域，记为D(见图3．3．3．2中阴影部分)，则
下面只需对f取正值的区域D的x进行积分．为此将区域D分成两部分D1与D2，即
当0≤x＜1时，
当1≤x＜2时，
当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z－x＜1，f(x，z－x)=0，则fz(z)=0．
综上所述，
解二 先求分布函数FZ(z)．将f(x，y)取正值的区域的四个边界点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)分别代入x+y=z得到z=0，z=1，z=1和z=2．因而对z需分z≤0，0＜z≤1，1＜z≤2，z>2四种情况讨论(见图3．3．3．3)．
(1)当z≤0时，f(x，y)=0，FZ(z)=P(Z≤z)=P(
)=0．(2)当0＜z＜1时，
(3)当1≤z＜2时，
或
(4)当z≥2时，
故
所以
【答案解析】