问答题
求下列积分：
(Ⅰ)设f(x)=∫
1
x
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)令Ф(x)=∫
x
1
f(y)dy，则Ф'(x)=一f(x)，于是 ∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy=∫
0
1
[∫
x
1
f(y)dy]f(x)dx =一∫
0
1
Ф(x)dФ(x)=一
Ф
2
(x)｜
0
1
=
(Ⅱ)令Ф(x)=∫
x
1
f(y)dy，则Ф'(x)=一f(x)，于是 ∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy=∫
0
1
[∫
x
1
f(y)dy]f(x)dx =一∫
0
1
Ф(x)dФ(x)=一
Ф
2
(x)｜
0
1
=
【答案解析】解析：该例中的两个小题均是求形如∫
a
b
[f(x)∫
a
x
g(y)dy]dx的积分，它可看作区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤x}上一个二重积分的累次积分，有时通过交换积分次序而求得它的值．作为定积分，若f(x)的原函数易求得F'(x)=f(x)，则可由分部积分法得 ∫
a
b
[f(x)∫
a
x
g(y)dy]dx=∫
a
b
[∫
a
x
g(y)dy]dF(x)=[F(x)∫
a
x
g(y)dy]｜
a
b
一∫
a
b
F(x)g(x)dx． 若右端易求，则可求得左端的值．