问答题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β＝ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
．
证明：(I)B不是A的特征向量；
(Ⅱ)向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
【正确答案】正确答案：(I)已知Aβ＝A(ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
)＝λ
1
ξ
1
﹢λ
2
ξ
2
﹢λ
3
ξ
3
． 若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有Aβ＝μβ＝μ(ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
)＝λ
1
ξ
1
﹢λ
2
ξ
2
﹢λ
3
ξ
3
， 从而得(μ－λ
1
)ξ
1
﹢(μ－λ
2
)ξ
2
﹢(μ－λ
3
)ξ
3
＝0． ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，从而得 λ
1
＝λ
2
＝λ
3
＝μ，这和λ
1
，λ
2
，λ
3
互不相同矛盾．故β＝ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
不是A的特征向量． (Ⅱ)法一用线性无关的定义证． 假设存在数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
β﹢k
2
Aβ﹢k
3
A
2
β＝0． 将β＝ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
及Aξ
i
＝λ
i
ξ
i
(i＝1，2，3)代入上式得k
1
(ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
)﹢k
2
(λ
1
ξ
1
﹢λ
2
ξ
2
﹢λ
3
ξ
3
)﹢k
3
(λ
1
2
ξ
1
﹢λ
2
2
ξ
1
﹢λ
3
2
ξ
3
)＝0， 整理得(k
1
﹢k
2
λ
1
﹢k
3
λ
1
2
)ξ
1
﹢(k
1
﹢k
2
λ
2
﹢k
3
λ
2
2
)ξ
2
﹢(k
1
﹢k
2
λ
3
﹢k
3
λ
3
2
)ξ
3
＝0． 因ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，则有
又λ
i
(i＝1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
＝(λ
3
2－λ
2
)(λ
3
－λ
1
)(λ
2
－λ
1
)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k
1
＝k
2
＝k
3
＝0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关． 法二 用秩来证．因 (β，Aβ，A
2
β)＝(ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
，λ
1
ξ
1
﹢λ
2
ξ
2
﹢λ
3
ξ
3
，λ
1
2
ξ
1
﹢λ
2
2
ξ
2
﹢λ
3
2
ξ
3
)＝(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)C． 其中｜C｜＝
又λ
i
(i＝1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
＝(λ
3
2－λ
2
)(λ
3
－λ
1
)(λ
2
－λ
1
)≠0， 故方程组(*)仅有零解，即k
1
＝k
2
＝k
3
＝0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关． 法二 用秩来证．因 (β，Aβ，A
2
β)＝(ξ
1
﹢ξ
2
﹢ξ
3
，λ
1
ξ
1
﹢λ
2
ξ
2
﹢λ
3
ξ
3
，λ
1
2
ξ
1
﹢λ
2
2
ξ
2
﹢λ
3
2
ξ
3
)＝(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)C． 其中｜C｜＝
【答案解析】