解答题
7.(2011年)设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0，x+y=2与y=0所围成的区域。
(Ⅰ)求边缘概率密度fX(x)；
(Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(x｜y)。
(Ⅰ)求边缘概率密度fX(x)；
(Ⅱ)求条件概率密度fX｜Y(x｜y)。
【正确答案】(Ⅰ)已知直线所围成的图形如图所示，因为(X，Y)在区域G上服从均匀分布，且G的面积是1，则(X，Y)的联合密度函数为
因为fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy，则当x＜0或者x＞2时，fX(x)=0。
当0≤x＜1时，fX(x)=∫0x1dy=x；
当1≤z≤2时，fX(z)=∫02-x1dy=2-x。
故fX(x)=
(Ⅱ)因为fX｜Y(x｜y)=f(x，y)／fY(y)，且当y＜0或y≥1时，fY(y)=0；当0≤y＜1时，fY(y)=∫y2-y1dx2-2y，所以当0＜y＜1时，有
因为fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy，则当x＜0或者x＞2时，fX(x)=0。
当0≤x＜1时，fX(x)=∫0x1dy=x；
当1≤z≤2时，fX(z)=∫02-x1dy=2-x。
故fX(x)=
(Ⅱ)因为fX｜Y(x｜y)=f(x，y)／fY(y)，且当y＜0或y≥1时，fY(y)=0；当0≤y＜1时，fY(y)=∫y2-y1dx2-2y，所以当0＜y＜1时，有
【答案解析】