解答题
14.设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
【正确答案】因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则
Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ1α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3．
设存在常数k1，k1，k3，使
k1β+k2Aβ+k3A2β=0，
进而得
(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．
由于α1，α2，α3线性无关，于是有
其系数行列式
Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ1α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3．
设存在常数k1，k1，k3，使
k1β+k2Aβ+k3A2β=0，
进而得
(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．
由于α1，α2，α3线性无关，于是有
其系数行列式
【答案解析】