解答题
设A，B为同阶矩阵．
问答题
17.如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；
【正确答案】由于A，B相似，存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，其特征多项式
∣λE—B∣=∣λE一P-1AP∣=∣P-1λEP—P-1AP∣=∣P-1(λE—A)P∣
=∣P-1∣∣λE—A∣∣P∣=∣λE－A∣，
即A与B有相同的特征多项式．
∣λE—B∣=∣λE一P-1AP∣=∣P-1λEP—P-1AP∣=∣P-1(λE—A)P∣
=∣P-1∣∣λE—A∣∣P∣=∣λE－A∣，
即A与B有相同的特征多项式．
【答案解析】
问答题
18.举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；
【正确答案】令
，则A，B有相同的特征多项式∣λE—A∣=∣λE—B∣=λ2，但A与B不相似．事实上，若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得
A=
=P-1BP=P-1
此与A≠O矛盾．再举一例：令A=
，则A与B有相同的特征多项式
∣λE一A∣=∣λE—B∣=(λ一1)2，
其中A与B也不相似．事实上，若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得
B=
=P-1BP=P-1
，则A，B有相同的特征多项式∣λE—A∣=∣λE—B∣=λ2，但A与B不相似．事实上，若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得A=
=P-1BP=P-1此与A≠O矛盾．再举一例：令A=
，则A与B有相同的特征多项式∣λE一A∣=∣λE—B∣=(λ一1)2，
其中A与B也不相似．事实上，若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得
B=
=P-1BP=P-1【答案解析】
问答题
19.当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
【正确答案】若A，B皆为实对称矩阵，且A，B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，由命题2．5．3．1(2)知A与B相似．事实上，因A与B有相同的特征值，记其特征值为λi(i=l，2，…，n)，又因实对称矩阵必可对角化，所以存在可逆矩阵P与Q，使得
P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)，Q-1BP=diag(λ1，λ2．…，λn)．
于是P-1AP=Q-1BQ．令S=PQ-1，则矩阵S可逆，使得S-1AS=B，故A与B相似．
P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)，Q-1BP=diag(λ1，λ2．…，λn)．
于是P-1AP=Q-1BQ．令S=PQ-1，则矩阵S可逆，使得S-1AS=B，故A与B相似．
【答案解析】