问答题
设α，β为三维单位列向量，并且αTβ=0，记A=ααT+ββT，证明：
问答题
齐次线性方程组Ax=0有非零解；
【正确答案】因为A为3阶方阵，且r(ααT)=1，r(ββT)=1，于是
r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)=2＜3
故 Ax=0有非零解。
r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)=2＜3
故 Ax=0有非零解。
【答案解析】
问答题
A相似于矩阵
【正确答案】由(Ⅰ)知|A|=0，从而A有零特征值λ1=0，Ax=0的非零解x0即为λ1=0对应的特征向量。
又Aα=(ααT+ββT)α=α(αTα)+β(ββTα)=α+0=α，
Aβ=(ααT+ββT)β=α(αTβ)+β(βTβ)=0+β=β，
且α≠0，β≠0，故λ2=1为A的特征值，α，β为对应的特征向量，另外，由αTβ=0可知α，β为两个正交的非零向量，从而线性无关，所以，α，β，x0为A的3个线性无关的特征向量，λ2=1为A的2重特征值，λ1=0为A的单重特征值，记P=(α，β，x0)，则[*]即A相似于矩阵[*]
又Aα=(ααT+ββT)α=α(αTα)+β(ββTα)=α+0=α，
Aβ=(ααT+ββT)β=α(αTβ)+β(βTβ)=0+β=β，
且α≠0，β≠0，故λ2=1为A的特征值，α，β为对应的特征向量，另外，由αTβ=0可知α，β为两个正交的非零向量，从而线性无关，所以，α，β，x0为A的3个线性无关的特征向量，λ2=1为A的2重特征值，λ1=0为A的单重特征值，记P=(α，β，x0)，则[*]即A相似于矩阵[*]
【答案解析】