解答题
23.设向量组(i)α1＝(2，4，－2)T，α2＝(－1，a－3，1)T，a3＝(2，8，b－1)T；(ii)β1＝(2，b＋5，－2)T，β2＝(3，7，a－4)T，β3＝(1，2b＋4，－1)T．
记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)．
问：
(Ⅰ)a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．
记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)．
问：
(Ⅰ)a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．
【正确答案】(Ⅰ)A等价于B
r(A)＝r(B)．将A，B合并，作初等行变换，有
当a≠1且b≠－1时，r(A)＝r(B)＝3，A等价于B；
当a＝1或b＝－1时，r(A)＝r(B)＝2，A等价于B．所以无论a，b为何值均有A和B等价．
(Ⅱ)(i)等价于(ii)
向量组可以相互表出
(α1，α2，α3)x＝βi，(β1，β2，β3)y＝αi(i＝1，2，3)均有解
．
由(Ⅰ)知，
a≠1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝
＝3，(i)等价于(ii)；
a＝1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝
＝2，(i)等价于(ii)；
a＝1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠
＝3，(β1，β2，β3)y＝α3无解，(i)，(ii)不等价；
a≠1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠
r(A)＝r(B)．将A，B合并，作初等行变换，有当a≠1且b≠－1时，r(A)＝r(B)＝3，A等价于B；
当a＝1或b＝－1时，r(A)＝r(B)＝2，A等价于B．所以无论a，b为何值均有A和B等价．
(Ⅱ)(i)等价于(ii)
向量组可以相互表出(α1，α2，α3)x＝βi，(β1，β2，β3)y＝αi(i＝1，2，3)均有解．由(Ⅰ)知，
a≠1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝
＝3，(i)等价于(ii)；a＝1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝
＝2，(i)等价于(ii)；a＝1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠
＝3，(β1，β2，β3)y＝α3无解，(i)，(ii)不等价；a≠1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠
【答案解析】