解答题
11.设奇函数f(χ)在[－1，1]上二阶可导，且f(1)＝1，证明：
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1；
(2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1；
(2)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．
【正确答案】(1)令h(χ)＝f(χ)－χ，
因为f(χ)在[－1，1]上为奇函数，所以f(0)＝0，
从而h(0)＝0，h(1)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h′(ξ)＝0，
而h′(χ)＝f′(χ)－1，故ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1．
(2)令φ(χ)＝eχ[f′(χ)－1]，
因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，由f′(ξ)＝1得f′(－ξ)＝1．
因为φ(－ξ)＝φ(ξ)，所以存在η∈(－ξ，ξ)
因为f(χ)在[－1，1]上为奇函数，所以f(0)＝0，
从而h(0)＝0，h(1)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h′(ξ)＝0，
而h′(χ)＝f′(χ)－1，故ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1．
(2)令φ(χ)＝eχ[f′(χ)－1]，
因为f(χ)为奇函数，所以f′(χ)为偶函数，由f′(ξ)＝1得f′(－ξ)＝1．
因为φ(－ξ)＝φ(ξ)，所以存在η∈(－ξ，ξ)
【答案解析】