证：设f(x)=x⁵+x-1，

①根的存在性：因为f(x)在[0，1]上连续，而f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，故由闭区间上连续函数的零点定理可知，

存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。

②根的唯一性：假设方程有两个根x₁≠x₂，不妨设x₁＜x₂，

由于f(x)在[x₁，x₂]上连续，在(x₁，x₂)内可导，由罗尔定理知，存在η∈(x₁，x₂)，使得f'(η)=0，而f'(η)=5η⁴+1≠0，矛盾。

故f(x)的根唯一，即方程x⁵+x-1=0只有一个正根。

综上所述，结论得证。