问答题
设f(x)在(一∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=∫
0
x
f(t)dt，求证：
(Ⅰ)F(x)一定能表成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数；
(Ⅱ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(x)=F(x)一kx以T为周期．由于 φ(x+T)=F(x+T)一k(x+T)=∫
0
x
f(t)dt—kx+∫
x
x+T
f(t)dt—kT =φ(x)+∫
0
T
f(t)dt一kT， 因此，取k=
∫
0
T
f(t)dt，φ(x)=F(x)一kx，则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时 F(x)=[
f(t)dt]x+φ(x)． (Ⅱ)不能用洛必达法则．因为
不存在，也不为∞．但∫
0
x
f(t)dt可表示 ∫
0
x
f(t)dt=
∫
0
T
f(t)dt+φ(x)． φ(x)在(一∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(一∞，+∞)也有界．因此
∫
0
T
f(t)dt，φ(x)=F(x)一kx，则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时 F(x)=[
f(t)dt]x+φ(x)． (Ⅱ)不能用洛必达法则．因为
不存在，也不为∞．但∫
0
x
f(t)dt可表示 ∫
0
x
f(t)dt=
∫
0
T
f(t)dt+φ(x)． φ(x)在(一∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(一∞，+∞)也有界．因此
【答案解析】