解答题
19.设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α=(0，－1，1)T，β=(1，0，－1)T，求矩阵A。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α=(0，－1，1)T，β=(1，0，－1)T，求矩阵A。
【正确答案】(Ⅰ)因为A的各行元素和为零，从而λ=0为A的一个特征值，并且γ=(1，1，1)T为A属于λ=0的特征向量。
另一方面，又因为Aα=3β，Aβ=3α，所以
A(α+β)=3(α+β)，A(α－β)=－3(α－β)，
λ=3和λ=－3为A的两个特征值，并且α+β和α－β为A属于λ=3，－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
(Ⅱ)A的三个特征向量为
γ=(1，1，1)T，α+β=(1，－1，0)T，α－β=(－1，－1，2)T，
另一方面，又因为Aα=3β，Aβ=3α，所以
A(α+β)=3(α+β)，A(α－β)=－3(α－β)，
λ=3和λ=－3为A的两个特征值，并且α+β和α－β为A属于λ=3，－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
(Ⅱ)A的三个特征向量为
γ=(1，1，1)T，α+β=(1，－1，0)T，α－β=(－1，－1，2)T，
【答案解析】