解答题 5.(2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件：
f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2e^x．
(1)求F(x)所满足的一阶方程；
(2)求出F(x)的表达式．

【正确答案】 (1)由F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=g²(x)+f²(x)
=[f(x)+g(x)]^2x一2f(x)g(x)
=4e^2x一2F(x)
则F(x)所满足的一阶方程为
F'(x)+2F(x)=4e^2x
(2)方程F'(x)+2F(x)=4e^2x是一个一阶线性方程，由求解公式得
F(x)=e^－∫2dx[∫4e^2x.e^∫2dx+C]
=e^2x+Ce^－2x
将 F(0)=f(0)g(0)=0代入上式得 C=一1
故 F(x)=e^2x一e^－2x

【答案解析】