解答题
4.(1996年)设f(χ)为连续函数．
(1)求初值问题
的解y(χ)，其中a是正常数；
(2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有
｜y(χ)｜≤
(1)求初值问题
的解y(χ)，其中a是正常数；(2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有
｜y(χ)｜≤
【正确答案】(1)原方程通解是
y(χ)＝e－aχ[∫f(χ)eaχdχ＋C]
＝e－aχ[F(χ)＋C]
其中F(χ)是f(χ)eaχ的任一原函数，由y(0)＝0得
C＝－F(0)故
y(χ)＝e－aχ[F(χ)－F(0)]＝e－aχ∫0χeatf(t)dt
(2)｜y(χ)｜≤e－aχ∫0χ｜f(t)｜eatdt≤keaχ∫0χeatdt≤
e－aχ(eaχ－1)
＝
y(χ)＝e－aχ[∫f(χ)eaχdχ＋C]
＝e－aχ[F(χ)＋C]
其中F(χ)是f(χ)eaχ的任一原函数，由y(0)＝0得
C＝－F(0)故
y(χ)＝e－aχ[F(χ)－F(0)]＝e－aχ∫0χeatf(t)dt
(2)｜y(χ)｜≤e－aχ∫0χ｜f(t)｜eatdt≤keaχ∫0χeatdt≤
e－aχ(eaχ－1)＝
【答案解析】