解答题
27.设矩阵
【正确答案】解一 由|λE－A|2=λ(λ－2)2=0得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0，且kE+A的
特征值为k+2(二重)和k，进而得到B的特征值为(k+2)2(二重)和k2．因A为实对称矩阵，kE+A也为实对称矩阵，故B=(kE+A)2也为实对称矩阵．利用实对称矩阵必可相似对角化得到B必与对角矩阵相似，且相似对角矩阵Λ =diag((k+2)2，(k+2)2，k2)，于是有B～Λ ．
当k≠一2且k≠0时，B的全部特征值均为正数，这时B必为正定矩阵．
解二 A为实对称矩阵，必可相似对角化，又A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0，故A～diag(2，2，0)．又因B=(A+kE)2为A的矩阵多项式f(a)=(A+kE)2，其中f(x)=(x+k)2．
由命题2．5．3．1(2)知，A的矩阵多项式B=f(A)也相似于对角矩阵：
Λ =diag(f(λ1)，f(λ2)，f(λ3))=diag((λ1+k)2，(λ2+k)2，(λ3+k)2)=diag((2+k)2，(2+k)2，k2)．
当k≠－2且k≠0时，Λ 的主对角线上的元素，即B的全部特征值均为正数，B正定．
解三 令G=diag(2，2，0)．因A为实对称矩阵，故存在正交矩阵Q，使QTAQ=G，因而A=(QT)－1GQ-1=QGQT．注意到QQT=E，有kE=Q(kE)QT，则
kE+A=Q(kE+G)QT=Q diag(k+2，k+2，k)QT，
B=(kE+A)2=Q(diag(k+2，k+2，k))2QT=Q diag((k+2)2，(k+2)2，k2)QT．
故B～Λ =diag((k+2)2，(k+2)2，k)．所以当k≠－2且k≠0时，B的特征值全为正数，因而B为正定矩阵．
特征值为k+2(二重)和k，进而得到B的特征值为(k+2)2(二重)和k2．因A为实对称矩阵，kE+A也为实对称矩阵，故B=(kE+A)2也为实对称矩阵．利用实对称矩阵必可相似对角化得到B必与对角矩阵相似，且相似对角矩阵Λ =diag((k+2)2，(k+2)2，k2)，于是有B～Λ ．
当k≠一2且k≠0时，B的全部特征值均为正数，这时B必为正定矩阵．
解二 A为实对称矩阵，必可相似对角化，又A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0，故A～diag(2，2，0)．又因B=(A+kE)2为A的矩阵多项式f(a)=(A+kE)2，其中f(x)=(x+k)2．
由命题2．5．3．1(2)知，A的矩阵多项式B=f(A)也相似于对角矩阵：
Λ =diag(f(λ1)，f(λ2)，f(λ3))=diag((λ1+k)2，(λ2+k)2，(λ3+k)2)=diag((2+k)2，(2+k)2，k2)．
当k≠－2且k≠0时，Λ 的主对角线上的元素，即B的全部特征值均为正数，B正定．
解三 令G=diag(2，2，0)．因A为实对称矩阵，故存在正交矩阵Q，使QTAQ=G，因而A=(QT)－1GQ-1=QGQT．注意到QQT=E，有kE=Q(kE)QT，则
kE+A=Q(kE+G)QT=Q diag(k+2，k+2，k)QT，
B=(kE+A)2=Q(diag(k+2，k+2，k))2QT=Q diag((k+2)2，(k+2)2，k2)QT．
故B～Λ =diag((k+2)2，(k+2)2，k)．所以当k≠－2且k≠0时，B的特征值全为正数，因而B为正定矩阵．
【答案解析】