问答题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是n个n维向量，且已知
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 (*)
只有零解．问方程组
(α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (**)
何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．
【正确答案】正确答案：α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0只有零解
r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n
α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
记为B=AC，其中r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n．
①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解． ②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式C
n-1,n-1
=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1． 方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成． 因(α
1
+α
2
)一(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
4
)一…+(α
2k-1
+α
2k
)一(α
2k
+α
1
)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]
T
，其中t是任意常数． 或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解，
r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n
α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
记为B=AC，其中r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n．
①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解． ②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式C
n-1,n-1
=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1． 方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成． 因(α
1
+α
2
)一(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
4
)一…+(α
2k-1
+α
2k
)一(α
2k
+α
1
)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]
T
，其中t是任意常数． 或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解，
【答案解析】