设总体X服从参数为λ的指数分布，其分布函数与密度函数分别为
F(x)=1-e-λx，f(x)=λe-λx，x＞0，λ＞0
设X(1)≤X(2)≤…≤X(r)是来自总体X的容量为n的前r个次序统计量，证明：
F(x)=1-e-λx，f(x)=λe-λx，x＞0，λ＞0
设X(1)≤X(2)≤…≤X(r)是来自总体X的容量为n的前r个次序统计量，证明：
问答题
Y1=nX(1)，Y2=(n-1)(X(2)-X(1))，…，Yr=(n-r+1)(X(r)-X(r-1))相互独立且同服从参数为λ的指数分布Exp(λ)。
【正确答案】证明：对0=t0≤t1＜t2＜…＜tr，注意到，则X(1)，X(2)，…，X(r)的联合密度函数为 雅可比行列式为 于是，对yi≥0，i=1，2，…，r，Y1，Y2，…，Yr的联合密度函数为 于是，Y1，Y2，…，Yr相互独立，且都服从参数为λ的指数分布Exp(λ)。
【答案解析】(1)记X(0)=0，由于Y1=nX(1)，Y2=(n-1)(X(2)-X(1))，…，Yr=(n-r+1)(X(r)-X(r-1))相互独立同服从参数为λ的指数分布Exp(λ)，则X(1)，X(2)-X(1)，X(3)-X(2)，…，X(r)-X(r-1)也相互独立，且X(i)-X(i-1)，i=1，2，…，r服从参数为(n-i+1)λ的指数分布Exp((n-i+1)λ)，则，，。 由此 当1≤j≤k≤n时 (2)特别地，当r=n时，有。该结论也可以直接求得。事实上，对i=1，2，…，n，λXi～Exp(1)，2λXi～Exp(0.5)，即2λXi～χ2(2)，且X1，X2，…，Xn独立，则。
问答题
【正确答案】注意到，由于Y1，Y2，…，Yr相互独立，同服从参数为λ的指数分布Exp(λ)，则λY1，λY2，…，λYr相互独立，且同服从标准指数分布Exp(1)，进而2λY1，2λY2，…，2λYr相互独立，且同服从χ2(2)。由χ2分布的可加性知
【答案解析】