解答题
设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，证明：
问答题
对于(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)成立；
【正确答案】
【答案解析】[证]由拉格朗日中值定理，对于(-1，1)内的任一x≠0，存在θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)．
又因为f"(x)连续且f"(x)≠0，所以，在(-1，1)内f"(x)＞0(或＜0)，即f'(x)在(-1，1)内单调增加(或单调减少)，于是，θ(x)是唯一的．
又因为f"(x)连续且f"(x)≠0，所以，在(-1，1)内f"(x)＞0(或＜0)，即f'(x)在(-1，1)内单调增加(或单调减少)，于是，θ(x)是唯一的．
问答题
【正确答案】
【答案解析】[证]再由拉格朗日中值定理，在0与θ(x)x之间存在ξ，使得
f'(θ(x)x)=f'(0)+f"(ξ)·θ(x)x，
代入f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)得
f(x)=f(0)+xf'(0)+f"(ξ)·θ(x)·x2，
于是
所以
f'(θ(x)x)=f'(0)+f"(ξ)·θ(x)x，
代入f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)得
f(x)=f(0)+xf'(0)+f"(ξ)·θ(x)·x2，
于是
所以