解答题
15.设f(χ)在[a，b]上连续可导，证明：
｜f(χ)｜≤
｜f(χ)｜≤
【正确答案】因为f(χ)在[a，b]上连续，所以｜f(χ)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜＝
｜f(χ)｜．
根据积分中值定理，
f(χ)dχ＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．
由积分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋∫ξcf′(χ)dχ，取绝对值得
｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜∫ξcf′(χ)dχ｜≤｜f(ξ)｜＋∫ab｜f′(χ)｜dχ，即
｜f(χ)｜．根据积分中值定理，
f(χ)dχ＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋∫ξcf′(χ)dχ，取绝对值得
｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜∫ξcf′(χ)dχ｜≤｜f(ξ)｜＋∫ab｜f′(χ)｜dχ，即
【答案解析】