解答题
25.[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值．
【正确答案】先正确求出y′及其驻点，然后利用命题1．4．2．2列表讨论，判断极值点并求出单调区间．
利用变限积分求导公式，由f(x)=x2∫1x2e-t2dt－∫1x2te-t2dt出得到
f′(x)=2x∫1x2e-t2dt+x2e-(x2)2．2x一x2e(x2)2．2x，=2x∫1x2e-t2dt．
令f′(x)=0得x=0，x=±1．于是f′(x)的符号及f(x)的单调性如下表所示：
由此可见，f(x)在区间(一∞，一1]上单调减少,f(一1)=0是极小值，f(x)在区间[－1，0]上单调增加，f(0)=∫01te-t2dt=一
利用变限积分求导公式，由f(x)=x2∫1x2e-t2dt－∫1x2te-t2dt出得到
f′(x)=2x∫1x2e-t2dt+x2e-(x2)2．2x一x2e(x2)2．2x，=2x∫1x2e-t2dt．
令f′(x)=0得x=0，x=±1．于是f′(x)的符号及f(x)的单调性如下表所示：
由此可见，f(x)在区间(一∞，一1]上单调减少,f(一1)=0是极小值，f(x)在区间[－1，0]上单调增加，f(0)=∫01te-t2dt=一
【答案解析】