利用变换y=f(e
x
)求微分方程y""一(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解．
【正确答案】正确答案：令t=e
x
，y=f(t)→y"=f"(t).e
x
=tf"(t)，y""=(tf"(t))
x
"=e
x
f"(t)+tf""(t).e
x
=tf"(t)+t
2
f""(t)，代入方程得t
2
f""(t)+tf"(t)一(2t+1)tf"(t)+t
2
f(t)=t
3
，即f""(t)一2f(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C
1
+C
2
t)e
t
+t+2，所以y""一(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解为y=(C
1
+C
2
e
x
)e
x
+ex+2，其中C
1
，C
2
为任意常数．