【正确答案】(Ⅰ)因为r(A^TA)＝r(A)，对A施以初等行变换

可见当a＝－1时，r(A)＝2，所以a＝－1．
(Ⅱ)由于a＝－1，所以A^TA＝．矩阵A^TA的特征多项式为

于是得A^TA的特征值为λ₁＝2，λ₂＝6，λ₃＝0．
对于λ₁＝2，由求方程组(2E－A^TA)χ＝0的一个非零解，
可得属于λ₁＝2的一个单位特征向量(1，－1，0)^T；
对于λ₂＝6，由求方程组(6E－A^TA)χ＝0的一个非零解，
可得属于λ₂＝6的一个单位特征向量(1，1，2)^T；
对于λ₃＝0，由求方程组(A^TA)χ＝0的一个非零解，
可得属于λ₃＝0的一个单位特征向量(1，1，－1)^T．
今矩阵Q＝