【答案解析】[证] 1°  已知秩(A)=n，只要证明A^*是可逆矩阵，即得秩(A^*)=n．
   当秩(A)=n时，A可逆，有|A|≠0，由AA^*=|A|E知A^*可逆，所以秩(A^*)=n．
   2°  已知秩(A)=n-1，要证秩(A^*)=1．
   因为秩(A)=n-1，有|A|=0，AA^*=|A|E=0，根据前面内容知，r(A)+
   r(A^*)≤n，从而r(A^*)≤n-r(A)=1．又秩(A)=n-1，即矩阵A至少有一个n-
   1阶子式不等于零，那么矩阵A^*中至少有一个元素非零，所以秩(A^*)≥1，由此推知
   秩(A^*)=1．
   3°  已知秩(A)＜n-1时，证明秩(A^*)=0．
   由秩(A)＜n-1知A的所有n-1阶子式全为零，A_ij=0(i，j=1，2，…，n)，故
   A^*=0，所以秩(A^*)=0．综上所述，有
   

【答案解析】[证] 考虑A可逆与不可逆两种情形．
   1°  当A可逆时，|A|≠0，由AA^*=|A|E，得
   |A||A^*|=||A|E|=|A|ⁿ，
   所以|A^*|=|A|^n-1．
   2°  A不可逆时，由上一小题知，秩(A)≤n-1，秩(A^*)≤1．
   故|A^*|=0，即|A^*|=|A|^n-1恒成立．