单选题
25.设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，则
【正确答案】
A
【答案解析】设f(x)在[1，+∞)上有界且可导，如果
f＇(x)存在，则必有
f＇(x)=0．证明如下：
假设
f＇(x)=a≠0，不妨设a＞0，则存在充分大的x0，当x＞x0时，f＇(x)＞
,由拉格朗日中值定理，有
f(x) －f(x0)=f＇(ξ)(x－x0)＞
(x－x0)，ξ∈(x0，x)，
即 f(x)＞f(x0)+
(x－x0)，
上式对任意的X＞X0都成立，这与f(x)的有界性矛盾，所以
f＇(x)=0．故A正确．
B不正确，设f(x)=
sinx2，则
sin x2=0，因为f＇(x)=
sinx2+2cosx2．
所以
f＇(x)不存在．
C不正确，因为由
[f(x+1)－f(x)]=0，可得
f＇(ξ)=0，ξ∈(x，x+1)，这不能得到
f＇(x)=0，注意ξ与x可能是不一样的．
由D只能得到
f＇(x)存在，则必有f＇(x)=0．证明如下：假设
f＇(x)=a≠0，不妨设a＞0，则存在充分大的x0，当x＞x0时，f＇(x)＞,由拉格朗日中值定理，有f(x) －f(x0)=f＇(ξ)(x－x0)＞
(x－x0)，ξ∈(x0，x)，即 f(x)＞f(x0)+
(x－x0)，上式对任意的X＞X0都成立，这与f(x)的有界性矛盾，所以
f＇(x)=0．故A正确．B不正确，设f(x)=
sinx2，则sin x2=0，因为f＇(x)=sinx2+2cosx2．所以
f＇(x)不存在．C不正确，因为由
[f(x+1)－f(x)]=0，可得f＇(ξ)=0，ξ∈(x，x+1)，这不能得到f＇(x)=0，注意ξ与x可能是不一样的．由D只能得到