解答题
4.(1)设f(x)连续，证明∫0πxf(sinx)dx=
∫0πf(sinx)dx；
(2)证明
∫0πf(sinx)dx；(2)证明
【正确答案】(1)设x=π—t，则dx=一dt，且当x=0时，t=π；当x=π时，t=0．于是
∫0πxf(sinx)dx=一∫π0(π—t)f[sin(π一t)]dt
=∫0π(π一t)f(sint)dt
=π∫0πf(sint)dt—∫0πtf(sint)dt
=π∫0πf(sinx)dx—∫0πxf(sinx)dx，
∫0πxf(sinx)dx=一∫π0(π—t)f[sin(π一t)]dt
=∫0π(π一t)f(sint)dt
=π∫0πf(sint)dt—∫0πtf(sint)dt
=π∫0πf(sinx)dx—∫0πxf(sinx)dx，
【答案解析】