解答题
24.设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
(1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
(2)设f(x)在(0，1)内可导，且f'(x)＞
(1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
(2)设f(x)在(0，1)内可导，且f'(x)＞
【正确答案】(1)S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=-∫1cf(t)dt，
即证明S1(c)=S2(c)，或cf(c)+∫1cf(t)dt=0．
令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ'(c)=0，
即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证．
(2)令h(x)=xf(x)-∫x1f(t)dt，因为h'(x)=2f(x)+xf'(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
即证明S1(c)=S2(c)，或cf(c)+∫1cf(t)dt=0．
令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ'(c)=0，
即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证．
(2)令h(x)=xf(x)-∫x1f(t)dt，因为h'(x)=2f(x)+xf'(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
【答案解析】