求下列方程的通解：(Ⅰ)y''3y'=2-6x；(Ⅱ)y''+y=ccosxcos2x．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ
2
-3λ=λ(λ-3)=0，所以通解为
=C
1
+C
2
e
3x
． 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y
*
(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y
*
(x)]''-3[y
*
(x)]'=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x． 比较方程两端的系数，得
解得A=1，B=0，即特解为y
*
(x)=x
2
．从而，原方程的通解为y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosxcos2x=
(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y''+y=
cosx与y''+y=
cos3x的特解y
1
*
(x)与y
2
*
(x)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosx+C
2
sinx；同时y''+y=
cosx的特解应具形式：y
1
*
(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=
．y
1
*
(x)=
sinx． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y
2
*
(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=
，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=
=C
1
+C
2
e
3x
． 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y
*
(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y
*
(x)]''-3[y
*
(x)]'=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x． 比较方程两端的系数，得
解得A=1，B=0，即特解为y
*
(x)=x
2
．从而，原方程的通解为y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosxcos2x=
(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y''+y=
cosx与y''+y=
cos3x的特解y
1
*
(x)与y
2
*
(x)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosx+C
2
sinx；同时y''+y=
cosx的特解应具形式：y
1
*
(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=
．y
1
*
(x)=
sinx． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y
2
*
(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=
，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=
【答案解析】