解答题
19.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有
其中ξ1∈
两式相加得f(a)+f(b)－
[f″(ξ1)+f″(ξ2)]
因为f″(x)在(a，b)内连续，所以f″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤
≤M，
由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得
=f″(ξ)，
故f(a)+f(b)－
其中ξ1∈
两式相加得f(a)+f(b)－
[f″(ξ1)+f″(ξ2)]因为f″(x)在(a，b)内连续，所以f″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤
≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得=f″(ξ)，故f(a)+f(b)－
【答案解析】