解答题
15.设f(x)在[a，＋∞]上可导，且当x＞a时，f'(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)＝0在区间
【正确答案】先证根的存在性．由题设知，f(x)在
上满足拉格朗日中值定理条件，故有
即
又f(a)＞0，由零点定理知，方程f(x)＝0在
内有实根．
再由f'(x)＜0(x＞a)且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在
上单调减少，故方程f(x)＝0在
上满足拉格朗日中值定理条件，故有即
又f(a)＞0，由零点定理知，方程f(x)＝0在
内有实根．再由f'(x)＜0(x＞a)且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在
上单调减少，故方程f(x)＝0在【答案解析】【思路探索】先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性．